Capitolul II
CALCUL BAZAT PE DOBÂNZI COMPUSE

4. Depunerea periodicã a unei sume constante

        Desi în paragraful anterior am avut posibilitatea sã întâlnim, printre variantele de plãti esalonate, si cazul plãtilor periodice de sume constante (vezi formulele (2.10) si (2.11) de la cazul plãtilor posticipate, sau formulele (2.28) si (2.29) de la cazul plãtilor anticipate) totusi, în cele ce urmeazã, vom încerca o dezvoltare a acestui caz din mai multe motive. Unul dintre aceste motive este acela cã vom putea vedea mai în detaliu cum pot fi utilizate formulele de calcul a plãtilor esalonate în cazul dobânzilor compuse.
        Oprindu-ne asupra unui caz particular (care nu este unul oarecare, ci este un caz foarte des întâlnit în practicã), vom avea prilejul sã oferim câteva detalii, sperãm suficient de precise, despre modul în care pot fi puse în aplicare formulele acestui caz frecvent din practica operatiunilor financiare.
        Pe de altã parte, detalierea acestui exemplu ne oferã prilejul de a face apela din nou la pretiosul ajutor pe care ni-l poate oferi calculatorul electronic.
        Pentru început considerãm cã se depune periodic (de exemplu, în fiecare an) o sumã constantã de S0 lei pentru care banca atribuie o dobândã anualã unitarã p. Se pune problema sã se determine care va fi suma acumulatã dupã o perioadã de n ani.
        Considerãm, în acelasi timp, cã suntem în cazul plãtilor posticipate, deci plata fiecãrei sume se face la sfârsitul perioadei considerate.
        De asemenea, ne vom situa în conditiile unor plãti temporare, adicã plãtile se vor face un anumit numãr de perioade, de regulã, numãr finit de ani (n fixat). Ultima ipotezã pe care o facem se referã la faptul cã plãtile se fac imediat, adicã fãrã nici o amânare.
        În aceste conditii spunem cã avem de-a face cu un sistem de plãti esalonate, constante, posticipate, temporare, imediate si cu dobândã constantã si conform formulei (2.10), valoarea finalã (pe care o notãm cu Sn) a tuturor plãtilor la sfârsitul ultimei perioade de platã va fi:

Sn = S0[(1+p)n-1]/p                       (2.40)
        Pentru determinarea unui coeficient de multiplicare a sumei S0 în functie de dobânda acordatã si de numãrul de ani, se poate proceda în felul urmãtor: se face
Sn = kS0 în formula (2.40) si vom gãsi:
k = [(1+p)n - 1]/p                           (2.41)

        Observatii:
        a) O parte importantã din suma Sn acumulatã si anume: S0.n  lei, constituie valoarea depunerilor fãcute pe parcursul celor n perioade de timp si numai diferenta
de Sn - n.S0 este rodul acumulãrilor prin dobânzi.
        b) Dobânda, ca si perioada utilizate în formule, sunt socotite în ani. Acestea pot fi utilizate si în luni, zile etc., cu conditia ca transformarea si înlocuirea sã se facã peste tot în formulã, acolo unde este necesar. Practic, se transformã dobânda anualã în dobânda aferentã perioadei dorite si în acelasi timp se transformã si n în numãr de perioade noi.
        c) Formula (2.41) este dificil de utilizat în practicã, mai ales pentru valori mari ale perioadei n. De aceea, este mult mai comod ca valorile discrete calculate sã poatã fi preluate dintr-un tabel. În acest sens a fost elaborat tabelul 2.4 din anexa 2, cu ajutorul unui program pe calculator. În anexa 1 poate fi gãsitã sursa unui program care are la bazã calculul coeficientilor de multiplicare dupã formula (2.41). Programul, numit CEC14, permite astfel determinarea oricãrei sume finale acumulate dupã depunerea periodicã a unei sume constante pe o perioadã solicitatã împreunã cu dobânda acordatã. Suma finalã rezultã din formula (2.40), adicã este determinatã prin înmultirea sumei constante depusã periodic cu coeficientul de multiplicare luat din tabelul 2.4.

Utilizarea tabelului 2.4

        Tabelul contine pe coloane perioadele (în ani, luni, zile etc.), de la 1 pânã la 20, iar pe linii dobânzile, de la 1 % pânã la 100 %, acestea fiind socotite pe aceleasi perioade ca si cele de pe coloane.  El poate fi utilizat pentru determinarea unui coeficient de multiplicare a unei sume constante depusã periodic, atunci când se cunosc dobânda si perioada de pãstrare. Astfel, pentru o dobândã anualã de 18 % si pentru o perioadã de pãstrare de 5 ani vom putea gãsi în tabel coeficientul 7,15. Cu alte cuvinte, o sumã constantã depusã periodic, de exemplu 100.000 de lei, cu o dobândã anualã compusã de 18 %, va deveni, dupã o perioadã de pãstrare de 5 ani, egalã cu 715.000 lei.

Exemple de utilizare a formulei si tabelului

        Problema 2.20. Presupunem cã depunem în fiecare an la o bancã o sumã constantã de 1.000.000 lei. Sã se afle ce sumã se acumuleazã dupã o perioadã de 5 ani, stiind cã banca atribuie pentru pãstrare o dobândã anualã de 18 %.
        Rezolvare: Considerând în formula (2.40): p=18/100=0,18, n=5 si suma depusã anual în valoare de S0 = 1.000.000 lei vom gãsi cã suma acumulatã dupã 5 ani va fi:

S5 = 1.000.000.[(1+0,18)5-1]/ 0,18 = 7.154.210 lei.
        Problema se poate pune si în sensul definit de formula (2.41), adicã, sã se determine coeficientul cu care se multiplicã suma initialã depusã periodic, dupã o perioadã de 5 ani si o dobândã anualã de 18 %. Conform acestei formule se poate gãsi cã acest coeficient este egal cu:
k = [(1+0,18)5-1]/ 0,18 = 7,154.
        Evident, mai comod este sã utilizãm tabelul 2.4 din anexa 2, din care, de pe linia corespunzãtoare procentului de 18 % si de pe coloana corespunzãtoare unei perioade de 5 ani, gãsim coeficientul k=7,15.

         Problema 2.21. Presupunem cã facem o depunere lunarã în valoare de 10.000 lei. Dobânda anualã atribuitã de bancã este de 36 %. Care este suma acumulatã dupã o perioadã de 10 luni?
        Rezolvare: Transformãm dobânda anualã în dobândã lunarã pentru a lucra cu aceeasi unitate de mãsurã. Dobânda lunarã este egalã cu 36/12=3%. Din tabelul 2.4 gãsim, pentru un procent de 3% si o perioadã de 10 luni, un coeficient egal cu 11,46. Asadar, suma acumulatã dupã 10 luni este egalã cu

10.000.11,46 = 114.600lei.

        Observatie: Formula (2.40) este valabilã în cazul în care fiecare platã a sumei constante se face la sfârsitul perioadei respective. Acest tip de platã este cunoscut pe piata financiarã sub numele de platã posticipatã si este foarte des întâlnit în practicã.
        Pentru cazurile în care plata sumei se face anticipat, adicã la începutul fiecãrei perioade, formula (2.40) devine:

Sn = S0(1+p)[(1+p)n-1]/p                      (2.42)
        Se poate observa cã este justificatã interventia factorului suplimentar 1+p, având în vedere, în cazul plãtilor anticipate, faptul cã la sfârsitul primului an suma S0 devine S0(1+p).
        Aceastã observatie ne sugereazã modul în care am putea utiliza tabelul 2.4 din anexa 2 si în cazul plãtilor anticipate.

         Rezumând, în cazul plãtilor anticipate, coeficientii preluati din tabelul 2.4 trebuie multiplicati cu coeficientul 1+p.

        Problema 2.22. Presupunem cã facem o depunere anualã cu plata anticipatã în valoare de 100 $. Dacã dobânda anualã atribuitã de bancã este de 3 %, ce sumã finalã vom avea la sfârsitul unei perioade de 10 ani?
        Rezolvare: Din tabelul 2.4 gãsim, pentru un procent de 3 % si o perioadã de 10 ani, un coeficient de multiplicare egal cu 11,46. Tinând seamã de faptul cã avem de-a face cu plãti anticipate, coeficientul 11,46 gãsit în tabel trebuie înmultit cu coeficientul 1+0,03 = 1,03 si devine 11,46.1,03 = 11,8038. Asadar, suma acumulatã dupã 10 ani este egalã cu 100.11,8038 = 1180,38 $.

Inapoi                                                                             Inainte
Prima paginã