Capitolul II
CALCUL BAZAT PE DOBÂNZI COMPUSE

        Dobânda compusã, spre deosebire de dobânda simplã, ia în calcul si sumele provenite din dobânzi. Aceste sume apartin creditorului si sunt recuperate de cãtre acesta la termenele stabilite.  În cazul utilizãrii dobânzilor compuse calculele financiare devin mai complicate si deseori se apeleazã la tabele matematice sau la ajutorul calculatorului pentru a simplifica determinarea unor parametri.
        Calculele financiare bazate pe dobânzi compuse sunt determinate în primul rând de modalitãtile în care se fac plãtile. De cele mai multe ori suntem interesati în determinarea efectelor pe care le poate avea în timp depunerea cu dobândã compusã a unei sume initiale. Totodatã putem fi interesati de consecintele devalorizãrii monedei asupra valorii sumei depuse cu dobândã compusã. Nu mai putin interesati de efectele valorice pe diferite perioade de timp am putea fi si în cazul în care depunem periodic o anumitã sumã de bani, constantã sau nu, cu dobânzi egale sau nu.  Existã numeroase probleme care se întâlnesc în practica financiarã legatã de dobânzi compuse. Douã mari grupe de probleme sunt categorisite de modul în care se fac depunerile: o singurã sumã o singurã datã (depunerea unei sume initiale) sau depunerea periodicã (esalonatã) a unor sume constante sau nu. Prezentarea acestora, însotitã de multe exemple si aplicatii practice, din cele mai interesante si mai frecvente situatii întâlnite în practica financiarã, face obiectul urmãtoarelor paragrafe ale acestui capitol.

1. Depunerea unei sume initiale

Problema directã

        Se face o depunere initialã S0 pentru care banca atribuie o dobândã anualã compusã p. Sã se determine care va fi suma dupã o perioadã de n ani.
        Formula de calcul este:

Sn = S0 (1+p)                      (2)
        Suma Sn se numeste valoare (sumã) finalã iar S0 se numeste valoare (sumã, depunere) initialã.

Problema inversã

        Ce depunere initialã S0 corespunde unei sume totale Sn si unei dobânzi anuale p, când scadenta va fi dupã o perioadã de n ani.
        Formula de calcul este:

S0 = Sn . (1+p)-n                   (2.0)
        Suma S0 se numeste valoare (sumã) actualã sau actualizatã, iar Sn se numeste valoare (sumã) finalã.

         Formula (2) poate fi folositã si în alte scopuri:
         a)  pentru determinarea unui coeficient de multiplicare a sumei initiale, în functie de dobânda acordatã si de numãrul de ani. Astfel, fãcând Sn = k.S0, în formula (2) vom gãsi cã:

k = (1+p)n                            (2.1)
        b) pentru determinarea numãrului de ani dupã care o sumã initialã, indiferent care, se poate dubla, tripla s.a.m.d., în general poate fi multiplicatã de k ori, atunci când se cunoaste dobânda acordatã.
n = logp+1k                        (2.2)
        c) pentru determinarea unei dobânzi anuale pe baza unui numãr determinat de ani care sã asigure multiplicarea unei sume initiale depuse cu un coeficient dat. Astfel, tot din formula (2) se deduce cã:
 p = k1/n - 1                        (2.3)
        Coeficientul u=1+p întâlnit în aproape toate formulele care folosesc dobânda compusã se mai numeste si factor de fructificare anualã iar inversul sãu, u-1=(1+p)-1 se mai numeste si factor de actualizare anualã.
        Coeficientul k = (1+p)n  din formula (2.1) pe care îl vom utiliza foarte des în formulele care folosesc dobânda compusã mai este cunoscut si sub numele de factor de fructificare globalã iar inversul sãu, k-1=(1+p)-n se mai numeste si factor de actualizare globalã.
        Ultimile formule pot fi utilizate independent. Cum acestea sunt dificil de folosit în practicã se preferã utilizarea unor tabele de calcul care pot fi consultate în scopurile propuse. Astfel de tabele pot fi întâlnite în anexa 2. Acestea au fost construite cu ajutorul unor programe pe calculator (CEC11, CEC12 si CEC13) ale cãror surse sunt redate în anexa 1.

       Observatie: Dobânda compusã, ca si perioadele de analizã utilizate în formule sunt socotite în ani. Se întelege cã acestea pot fi utilizate si în luni, sãptãmâni, zile etc., cu conditia ca transformarea si înlocuirea sã se facã peste tot, acolo unde este necesar. De altfel, în cele ce urmeazã vom avea suficiente exemple care vor ilustra aceste situatii.
        O generalizare a formulei (2) porneste de la urmãtoarele douã ipoteze:
       a) Considerãm cã perioada de pãstrare (termenul) n nu se mãsoarã în ani, luni, sãptãmâni, zile etc. ci în subunitãti ale acestora. Astfel, fie n1, n2, ..., nr cele r subunitãti (intervale de timp, nu neapãrat egale) în care se împarte perioada totalã n, adicã:

n1 + n2 + ... + nr = n
        b) Considerãm cã pe fiecare interval de timp nj, cu j=1, 2, ..., r, dobânzile periodice unitare sunt distincte, fie acestea p1, p2, ..., pr, corespunzãtoare acestor intervale de timp.
        În aceste ipoteze formula (2) devine:
Sr = S0 . (1+ n1.p1)(1+ n2.p2) ... (1+ nr.pr)
        Distingem imediat câteva cazuri particulare:
       1. Dacã perioadele de pãstrare n1, n2, ..., nr sunt egale, adicã  n1 = n2 = ...= nr = n/r atunci formula de calcul devine:
Sr = S0 (1+ p1.n/r)(1+ p2.n/r) ... (1+ pr.n/r)
        2. Dacã perioadele de pãstrare n1, n2, ..., nr sunt egale cu unitatea, adicã  n1 = n2 = ...= nr = 1  si n = r, atunci formula de calcul devine:
Sr = S0 (1+ p1)(1+ p2) ... (1+ pr)
        3. Dacã perioadele de pãstrare n1, n2, ..., nr sunt egale cu unitatea, adicã  n1 = n2 = ...= nr = 1 si n = r, iar dobânzile periodice unitare p1, p2, ..., pr sunt toate egale cu dobânda unitarã anualã p, adicã p1 = p2 = ... = pr = p atunci formula de calcul devine identicã cu formula (2).

Exemple de utilizare a formulelor si tabelelor

       Problema 2.1. Presupunem cã am depus la o bancã suma S0 = 1.000.000 de lei. Se pune problema determinãrii sumei de care vom dispune dupã o perioadã de pãstrare de 5 ani, în cazul în care banca asigurã o dobândã anualã constantã de 24%.
       Rezolvare: Considerând în formula (2) p=0,24, n=5 si S0 = 1.000.000 vom gãsi cã S5 = 1.000.000.(1+0,24)5= 2.931.625 lei, adicã un câstig de 1.931.625 lei care este echivalentul unui procent de 293,2%.
        Problema se poate pune si în sensul definit la punctul a), adicã sã se determine coeficientul cu care se multiplicã suma initialã, dupã o perioadã de 5 ani pentru o dobândã anualã de 24%. Conform formulei (2.1) se gãseste cã acest coeficient este egal cu:

k = (1+0,24) 5 = 2,932.
        Evident, mult mai comod este sã utilizãm tabelul 2.1 din anexa 2, din care, de pe linia corespunzãtoare procentului de 24% si de pe coloana corespunzãtoare unei perioade de 5 ani, gãsim coeficientul k = 2,932.

       Problema 2.2. Dacã atribuim un împrumut în valoare S0 = 10.000.000 de lei cu o dobândã lunarã de 8 %, sã se determine ce sumã va trebui recuperatã dupã o perioadã de 6 luni.
       Rezolvare: Considerând în formula (1) p=0,08, n=6 si S0 = 10.000.000 vom gãsi cã: S6 = 10.000.000.(1+0,08)6 = 15.868.743 lei, adicã echivalentul unui procent de 158,7 %.
        Punând problema în sensul definit la punctul a), adicã sã se determine coeficientul cu care se multiplicã suma initialã dupã o perioadã de 6 luni si o dobândã lunarã de 8 %, conform formulei (1.1) se poate gãsi cã acest coeficient este egal cu:

k = (1+0,08) 6 = 1,587.
        Mai comod ar fi însã de utilizat tabelul 2.1 din anexa 2, din care, de pe linia corespunzãtoare procentului de 8 % si de pe coloana corespunzãtoare unei perioade de 5 luni, gãsim coeficientul k = 1,587.
        În sensul definit la punctul b) problema 2.1 poate fi formulatã si sub urmãtoarele enunturi:

       Problema 2.3. Sã se afle în câti ani o sumã initialã pentru care banca atribuie o dobândã anualã de 24 % se va dubla?
       Rezolvare: Considerând în formula (2.2) p=0,24 si k=2 vom gãsi cã n = log1,242=3,(2) ani.
        Mai comod este sã utilizãm tabelul 2.2 din anexa 2, din care, de pe linia corespunzãtoare procentului de 24 % si de pe coloana corespunzãtoare unui coeficient k=2, gãsim exact acelasi rezultat, n=3.22 ani.

       Problema 2.4. Sã se afle în câte luni o sumã initialã S0 = 1.000.000 lei, pentru care banca atribuie o dobândã anualã de 24 %, va ajunge la valoarea S = 2.000.000 lei?
       Rezolvare: Considerând în formula (2.2)  p = 0,24/12 = 0,02 si k = S/S0 = 2, vom gãsi cã n=log1,022=35 luni.
        Mai comod este sã utilizãm tabelul 2.2 din care, de pe linia corespunzãtoare procentului de 2 % si de pe coloana corespunzãtoare unui coeficient k=2, gãsim prin interpolare, n=35 luni.

       Problema 2.5. Sã presupunem cã dorim sã împrumutãm o sumã în valoare S0 = 1.000.000 lei pentru care ne convine sã plãtim suplimentar suma de 500.000 lei de care vom dispune peste 6 luni. Sã se determine ce dobândã maximã putem accepta pentru acest împrumut.
       Rezolvare: Considerând în formula (2.3)  k = 1.500.000/1.000.000 = 1,5 si n = 6 luni vom gãsi cã: p = 7 % pe lunã, ceea ce înseamnã o dobândã anualã de 84 %. Exact la acelasi rezultat vom ajunge si dacã vom utiliza tabelul 2.3 din anexa 2.

       Problema 2.6. Sã presupunem cã dorim ca peste 9 ani sã dispunem de o sumã în valoare de 100.000.000 lei. Care este valoarea sumei care trebuie depusã initial la o bancã, stiind cã aceasta asigurã o dobândã anualã constantã de 26 % ?
       Rezolvare: Problema corespunde formulei (2.0) si este inversa problemei 1. În tabelul 2.1 din anexa 2 gãsim, pentru procentul de 26 % si perioada de 9 ani, un coeficient egal cu 8,005. Cum S0 = Sn / k, rezultã cã suma care trebuie depusã initial la bancã este egalã cu 100.000.000/8,005 = 12.500.000 lei.

Utilizarea tabelului 2.1

        Tabelul contine pe coloane perioadele (în ani, luni, zile etc.), de la 1 pânã la 20, iar pe linii dobânzile, de la 1 % pânã 100 %, acestea fiind socotite pe aceleasi perioade ca si cele de pe coloane.  Tabelul poate fi utilizat pentru determinarea unui coeficient de multiplicare a unei sume initiale, atunci când se cunosc dobânda si perioada de pãstrare. Astfel, pentru o dobândã anualã de 25 % si pentru o perioadã de pãstrare de 5 ani vom putea gãsi în tabel coeficientul 3,052 cu care se va multiplica orice sumã initialã. Cu alte cuvinte, o sumã initialã, de exemplu 1.000.000 de lei, depusã la o bancã ce atribuie dobânda anualã de 25 %, va deveni, dupã o perioadã de pãstrare de 5 ani, egalã cu 3.052.000 lei.

Utilizarea tabelului 2.2

        Tabelul contine pe coloane coeficientii de multiplicare cuprinsi între 2 si 10 iar pe linii dobânzile, de la 1 % pânã la 100 %.  Tabelul poate fi utilizat pentru determinarea unui termen de pãstrare (numãr de ani, luni, zile etc.) pentru care o sumã initialã depusã la o bancã ce atribuie o anumitã dobândã sã se multiplice de un numãr dat de ori. Astfel, pentru o dobândã anualã de 25 % si pentru un coeficient de multiplicare egal cu 3, vom gãsi în tabel cã perioada de pãstrare este egalã cu 4,92 ani (echivalentul unui numãr de 1796 zile).

Utilizarea tabelului 2.3

        Tabelul contine pe coloane perioadele socotite în ani, luni, zile etc., de la 1 la 10, iar pe linii coeficientii de multiplicare, luati de la 1,1 pânã la 10,0 cu un pas de 0,1. Tabelul poate fi utilizat pentru determinarea unei dobânzi atunci când se cunoaste un termen de pãstrare dat în numãr de ani, luni, zile etc. si un coeficient de multiplicare pentru o sumã initialã. Astfel, pentru o perioadã de 3 ani si un coeficient de multiplicare egal cu 2, vom gãsi în tabel cã dobânda anualã aferentã este de 26,0 %.

       Problema 2.7. Un debitor a fost pus în situatia de a nu mai putea achita datoria din urmã cu exact 2 ani, de 1.000.000 lei, si a cerut amânarea scadentei pentru azi. Dacã aceasta i s-a aprobat cu dobânzile unitare de 10 % si, respectiv 12 % pentru cei doi ani de întârziere, care este suma pe care ar trebui sã o ramburseze azi ?
       Rezolvare: Problema corespunde formulei de calcul cu dobânzi distincte în care perioadele sunt egale cu unitatea, deci: S2 = S0(1+ p1)(1+ p2) =  1.000.000 . (1+0,10)(1+0,12) = 1.232.000 lei.

       Problema 2.8. Dacã se plaseazã suma de 100.000 lei pe o duratã de 3 ani, în regim de dobândã compusã, cu procentele anuale de 15 %, 18 % si 20 %, care este valoarea de care se va dispune dupã cei trei ani ?
       Rezolvare: Problema corespunde formulei de calcul cu dobânzi distincte în care cele trei perioade (ani) sunt egale cu unitatea, deci:  S2 = S0(1+p1)(1+p2)(1+p3) =  100.000 . (1+0,15) (1+0,18) (1+0,20) =
100.000 . 1,6284 = 162.840 lei.

       Problema 2.9. O persoanã a împrumutat în urmã cu trei ani suma de 10.000.000 lei cu un procent anual de 20 %. Suma urma sã fie rambursatã azi împreunã cu dobânda compusã corespunzãtoare. Neputând achita datoria azi, persoana solicitã o amânare de încã un an si jumãtate. Banca acceptã amânarea dar procentul anual creste cu o unitate pentru fiecare an amânat. Se cere sã se determine ce sumã trebuia plãtitã dupã cei trei ani si care este suma pe care o va plãti dupã amânarea solicitatã.
       Rezolvare: Suma care trebuia plãtitã azi corespunde formulei (2) de calcul, în care S0=50.000.000, p=0,20 si n=3. Asadar, S3 = S0(1+p)3 = 50.000.000 . (1+0,20)3 = 50.000.000 . 1,728 = 86.400.000 lei.
        Pentru cerinta a doua din problemã vom apela la formula de calcul cu dobânzi distincte, deci:
S = S0(1+p)3(1+p1)(1+p2) =50.000.000.(1+0,20)(1+0,21)(1+0,21)1/2 = 50.000.000.1,728.1,21. 1,1 = 50.000.000 . 2,299968 = 114.998.400 lei.

       Problema 2.10. În urmã cu 3 ani a fost depusã la o bancã, în regim de dobândã compusã cu un procent de 10 %, o anumitã sumã de bani, de pe urma cãreia azi beneficiem de suma de 66.550 lei. Sã se determine care a fost suma depusã.
       Rezolvare: Suntem în situatia de a determina valoarea actualã a unei sume depuse, deci vom utiliza formula (2.0) în care ma care trebuia plãtitã azi corespunde formulei (2) de calcul, în care  S3 = 66.550 lei, p = 0,10 si n = 3. Asadar,  S0 = S3/(1+p)3 =  66.550 / (1+0,1)3 = 66.550 / 1,331 = 50.000 lei.

       Problema 2.11. În urmã cu 3 ani a fost amânatã o datorie pentru care azi, cu procentele anuale de 40 %, 50 % ?i 60 % se plãteste suma de 336.000 lei. Despre ce datorie este vorba?
       Rezolvare: Suntem în situatia de a determina valoarea actualã a unei sume cu dobânzi distincte pe intervale egale de timp, cu urmãtoarele date:
S0 = 336.000 lei, p1 = 0,40, p2 = 0,50, p3 = 0,60  si n = 3. Asadar, S3 = S0/[(1+p1)(1+p2)(1+p3)] = 336.000 / [(1+0,40)(1+0,50)(1+0,60)] = 336.000/(1,4 . 1,5 . 1,6)=100.000 lei.
       Observatie: Este usor sã se observe cã dacã perioada de plasare este de un an, atunci dobânda compusã are aceeasi valoare cu dobânda simplã. Un rezultat mai general în acest sens este urmãtorul:
                 - dacã n<1 an, atunci dobânda simplã > dobânda compusã
                 - dacã n=1 an, atunci dobânda simplã = dobânda compusã
                 - dacã n>1 an, atunci dobânda simplã < dobânda compusã.
        Pe baza acestui rezultat se pot face diferite comparatii între plasamentele diferitelor sume cu procente diferite.
        Practic, atunci când nu se precizeazã dobânda cu care se lucreazã, se apeleazã la urmãtoarea conventie:
       a) pe termen scurt (n<1 an) se utilizeazã dobânda simplã
       b) pe termen lung (n>1 an) se utilizeazã dobânda compusã.
 

Inapoi                                                                       Inainte
Prima paginã