Capitolul I
CALCUL BAZAT PE DOBÂNZI SIMPLE

        Considerãm cã am împrumutat o sumã de bani S0 pe un termen de n ani. Banca solicitã o dobândã anualã la aceastã sumã, egalã cu d %. Fie p=d/100 numit si dobândã unitarã. Nu se aplicã dobânda la sumele cumulate din dobânzi, adicã avem de-a face cu o dobândã simplã.
        În aceste conditii formula de calcul a sumei datorate dup? cei n ani este:

Sn = S0(1+pn)                        (1)
        Considerând
Sn = S0 kn                         (1.0)
prin notatia:
kn = 1+pn                          (1.1)
kn poate fi interpretat ca un coeficient de multiplicare a sumei initiale S0 dupã expirarea celor n ani. În limbajul de specialitate acest coeficient se mai numeste si factor de fructificare.

Problema directã

        Sã se determine suma datoratã dupã n ani unei bãnci de la care a fost împrumutatã suma S0 cu dobânda unitarã simplã p. Caz numeric: S0 = 1.000.000 lei, p = 0,25, n = 3.
        Rãspuns: Se aplicã formula (1), rezultând, în urma calculelor efectuate:      S3 = 1.750.000 lei.

Problema derivatã I

        Sã se determine dobânda simplã care trebuie sã o aplice o bancã unui împrumut în valoare de S0 lei pentru ca dupã o perioadã de n ani sã poatã lua înapoi suma de Sn lei (Sn > S0). Caz numeric: S0 = 1.000.000 lei. n = 3, S3 = 1.750.000 lei.
        Rãspuns: Se apeleazã la formula (1), din care se poate extrage expresia de calcul a dobânzii:

p = (Sn/S0 - 1)/n                       (1.2)
        Rezultã astfel: p = 0,25 deci dobânda este 25%.
 
 

Problema derivatã II

        Sã se determine dupã câti ani o bancã ce împrumutã suma în valoare de S0 lei cu dobânda simplã p va obtine înapoi suma de Sn lei (Sn > S0). Caz numeric: S0 = 1.000.000 lei. p = 0,25, Sn = 1.750.000 lei.
        Rãspuns: Se apeleazã la formula (1), din care se poate extrage expresia de calcul a numãrului de perioade (ani):

n = (Sn/S0 - 1)/p                       (1.3)
        Rezultã astfel: n = 3 ani.

       Observatie: Dobânda, ca si perioadele de analizã utilizate în formule, sunt socotite în ani. Se întelege cã acestea pot fi utilizate si în luni, sãptãmâni, zile etc., cu conditia ca transformarea si înlocuirea sã se facã peste tot, acolo unde este necesar. De altfel, în cele ce urmeazã vom avea suficiente exemple care vor ilustra aceste situatii.

        Formulele 1.1, 1.2 si 1.3 pot fi utilizate independent si nu comportã calcule dificile. Totusi, în practicã se preferã sã se utilizeze tabele de calcul care pot fi consultate cu usurintã în scopurile propuse. Astfel de tabele (tabelul 1.1, tabelul 1.2 si tabelul 1.3) pot fi întâlnite în anexa 2 (Tabele de calcul) a lucrãrii. Ele au fost construite cu ajutorul unor programe pe calculator (CECA1, CECA2 si CECA3), programe ale c?ror surse sunt si ele prezentate în anexa 1 (Programe pe calculator).

Exemple de utilizare a tabelelor

       Utilizarea tabelului 1.1
        Tabelul contine pe coloane perioadele (în ani, luni, zile etc.), de la 1 pânã la 20, iar pe linii dobânzile, de la 1% pânã 100%, acestea fiind socotite pe aceleasi perioade ca acelea considerate pe coloane. Tabelul poate fi utilizat pentru determinarea unui coeficient de multiplicare a unei sume initiale, atunci când se cunosc dobânda si perioada de pãstrare. Astfel, pentru o dobândã anualã de 25% si pentru o perioadã de pãstrare de 5 ani vom putea gãsi în tabel coeficientul 2,250 cu care se va multiplica orice sumã initialã. Cu alte cuvinte, o sumã initialã, de exemplu 1.000.000 de lei, depusã la o bancã ce atribuie dobânda anualã de 25%, va deveni, dupã o perioadã de pãstrare de 5 ani, egalã cu 2.250.000 lei.

       Utilizarea tabelului 1.2
        Tabelul contine pe coloane perioadele socotite în ani, luni, zile etc., de la 1 la 20, iar pe linii coeficientii de multiplicare, luati de la 2 pânã la 100. Tabelul poate fi utilizat pentru determinarea unei dobânzi atunci când se cunoaste un termen de pãstrare dat în numãr de ani, luni, zile etc. si un coeficient de multiplicare pentru o sumã initialã. Astfel, pentru o perioadã de 12 ani si un coeficient de multiplicare egal cu 7, vom gãsi în tabel cã dobânda anualã aferentã este de 50 %. Asadar, dacã dorim sã beneficiem de o sumã depusã într-o bancã de 7 ori mai mare dupã exact 12 ani trebuie ca banca sã ne asigure o dobândã de 50 %.

       Utilizarea tabelului 1.3
        Tabelul contine pe coloane coeficientii de multiplicare cuprinsi între 2 si 21 iar pe linii dobânzile, de la 1% si 100%. Tabelul poate fi utilizat pentru determinarea unui termen de pãstrare (numãr de ani, luni, zile etc.) pentru care o sumã initialã depusã la o bancã ce atribuie o anumitã dobândã sã se multiplice de un numãr dat de ori. Astfel, pentru o dobândã anualã de 30 % si pentru un coeficient de multiplicare egal cu 4, vom gãsi în tabel cã perioada de pãstrare este egalã cu 10 ani. Asadar, dacã depunem într-o bancã o sumã pentru pãstrare cu dobânda de 30 %, aceastã sumã va deveni de 4 ori mai mare exact peste 10 ani.

Scadenta medie. Scadenta comunã

        În cazul în care se fac dintr-o datã mai multe împrumuturi S1, S2, S3,..., Sr cu aceeasi dobândã dar pe termene diferite n1, n2, n3,..., nr, putem fi interesati sã aflãm care ar fi scadenta medie n, adicã timpul în care suma totalã   S  =  S1+S2+S3+...+Sr   produce aceeasi dobândã ca si cele n sume cu scadentele respective.  Formula care conduce la acest calcul este:

n = (S1.n1+S2.n2+S3.n3+...+Sr.nr)/S             (1.4)

       Problema 1.1. Presupunem cã au fost împrumutate sumele S1=5.000.000 lei, S2=12.000.000 lei, S3=500.000 lei, S4=2.500.000 lei, aceeasi dobândã, pe perioadele n1=4 ani, n2=6 ani, n3=1 an, respectiv, n4=3 ani. Sã se calculeze scadenta medie.
       Rezolvare: Scadenta medie este, în cazul numeric al problemei date, egalã cu:

n=(5000000.4+12000000.6+500000.1+2500000.3)/20000000=5 ani.

        Problema scadentelor poate fi generalizatã prin introducerea notiunii de scadentã comunã. Astfel, dacã este vorba despre o sumã S <= S1+S2+S3+...+Sr pentru care suntem interesati sã aflãm timpul n în care aceastã sumã produce o dobândã la fel ca si cele r sume cu scadentele respective, atunci aceeasi formulã (1.4) permite aflarea scadentei comune.

Procentul mediu de plasament

         Sã presupunem cã se fac dintr-o datã mai multe împrumuturi S1, S2, S3,..., Sr cu scadente diferite n1, n2, n3,..., nr si procentele, de asemenea diferite, p1, p2, p3,..., pr. Dacã suntem interesati sã aflãm care este procentul p cu care trebuie împrumutate aceste sume cu scadentele date pentru a produce aceeasi dobândã, acesta este cunoscut sub numele de procent mediu de plasament si este dat de formula:

p=(S1.p1.n1+S2.p2.n2+...+Sr.pr.nr)/( S1.n1+S2.n2+...+Sr.nr)     (1.5)

       Problema 1.2. Presupunem cã au fost împrumutate sumele S1=1.000.000 lei, S2=3.000.000 lei, S3=5.000.000 lei, S4=2.000.000 lei, cu dobânzile p1=0,10 (10%), p2=0,,15 (15%), p3=0,20 (20%), respectiv, p4=0,15 (15%), pe perioadele n1=4 ani, n2=6 ani, n3=10 ani, respectiv, n4=2 ani. Sã se calculeze procentul mediu de plasament.
       Rezolvare: Procentul mediu de plasament este, în cazul numeric al problemei date, egal cu:

p=(1000000.0,10.4 + 3000000.0,15.6 + 5000000.0,20.10 + 2000000.0,15.2)/(1000000.4 + 3000000.6 + 5000000.10 + 2000000 .2) =
= 0,18 (18%).

        Dacã avem de-a face cu o dobândã simplã constantã pe întreaga perioadã de analizã, atunci lucrurile stau exact cum au fost prezentate mai sus. Dacã, însã, avem de-a face cu o dobândã care se modificã periodic, dar la intervale regulate sau neregulate de timp, atunci factorul p.n din formulele de mai sus poate fi înlocuit cu suma:

p1.n1 + p2.n2 + ... + pr.nr
unde
n1 + n2 + ... + nr = n
adicã n1, n2, ..., nr reprezintã perioadele (intervalele) unitare consecutive de timp iar p1, p2, ..., pr sunt dobânzile unitare corespunzãtoare acestor perioade de timp.

       Problema 1.3. Suma de 1.500.000 lei a fost depusã la o bancã, care, în primele 146 de zile a acordat dobânda anualã de 24 %, dupã care dobânda a fost modificatã la 20 %. Care este suma de care se dispune dupã un an de pãstrare a sumei în bancã?
       Rezolvare: Conform formulei (1) avem:

 S = 1500000.[1 + 0,24.146/365 + 0,20.(365-146)/365] = 1500000.1,216 = = 1824000 lei.
Inapoi                                                                          Inainte
Prima paginã